In het voorgaande artikel kon je lezen over de worstcase-optelling ofwel lineaire optelling van toleranties. Hierbij neem je aan dat alle toleranties maximaal ongunstig uitvallen en aan de grens van het tolerantiegebied liggen. Bij een zogenaamde statistische optelling van toleranties hou je rekening met de kans dat een bepaalde ongunstige combinatie van gerealiseerde toleranties voorkomt.
Het blijkt dat de kans op zo’n ongunstige (worstcase-) combinatie al snel heel klein is. Ik geef je een voorbeeld:
Stel dat je 4 identieke blokjes moet stapelen en je vraagt je af wat de totale hoogte van de stapel zal worden. De hoogte van de blokjes hebben als specificatie 10 +/-1. Stel nu dat de blokjes 9 mm (blokje ‘9’) of 11 mm (blokje ’11’) hoog zijn. Ze hebben dus de maximale afwijking. Met vier blokjes is het aantal mogelijke combinaties nog redelijk uit te schrijven:
Er zijn dus 16 verschillende combinaties mogelijk. De kans op een extreme dikte is daarmee 2/16 = 12.5%. Als bijvoorbeeld alleen de dikste combinatie een probleem geeft dan is er slechts 6.25% kans dat deze voorkomt. Let wel, dit zijn onderdelen met een zeer extreme verdeling van toleranties. In de praktijk komt deze verdeling zelden voor en zal de kans op een stapel met dikte 36 of 44 heel veel kleiner zijn.
Het ligt dus voor de hand om rekening te houden met de verdeling van toleranties en een statistische optelling van toleranties te maken.
Wat is een realistische verdeling van toleranties?
In bovenstaande voorbeeld is sprake van een uiterst extreme verdeling van toleranties. De vraag is nu wat een (meer) realistische verdeling is. Die vraag is wat lastiger te beantwoorden maar hoe beter je deze verdeling weet in te schatten, hoe nauwkeuriger je tolerantieanalyse wordt. Als er al veel productonderdelen gemaakt zijn en de belangrijke afmetingen zijn gemeten, dan heb je de gegevens in handen om de tolerantieverdeling te bepalen. Maar wat nu als je aan een nieuw product werkt en er geen vergelijkbare gegevens bekend zijn?
Normale verdeling van toleranties
Als je de tolerantieverdeling niet kent, dan moet je een goede schatting maken. Vaak wordt aangenomen dat de toleranties normaal verdeeld (Gaussisch) zullen zijn. Dat is omdat de normale verdeling eigenlijk ‘vanzelf’ ontstaat. Dat heet in de statistiek de centrale limietstelling. Die stelling luidt ongeveer “de som van een groot aantal onderling onafhankelijke en gelijk verdeelde stochastische variabelen geeft bij benadering een normale verdeling”. En omdat het fabricageproces zelf al een flink aantal variabelen kent, ligt een normale verdeling dus voor de hand. Een bijkomend voordeel is dat het rekenen met normale verdelingen redelijk eenvoudig is.
Een veel gemaakte aanname is dat de (symmetrische) tolerantiegrenzen samenvallen met de +/-3σ (3x de standaarddeviatie). Ter opfrissing: de standaarddeviatie is een maat voor de spreiding. 99,7% van de populatie valt binnen de +/-3σ grenzen.
Statistisch optellen van toleranties
Varianties (de standaarddeviatie is de wortel van de variantie) mag je optellen. En daarmee wordt het statistisch optellen van normaal verdeelde toleranties eenvoudig: Ttot = √(T12 + T22 + …. Tn2). In het bovenstaande voorbeeld met allemaal toleranties van +/-1 wordt de totale som: Ttot = √(12 + 12 + 12 + 12) = 2. De samenstelling van blokje heeft dan dus een hoogte van 40 +/-2. En 0.3% van de gemaakte stapels zal iets te groot of te klein zijn (een hoogte hebben van 36 .. 38 of 42 .. 44). Dit wordt ook wel kwadratisch optellen genoemd.
Spreadsheet tolerantieanalyse
In de Engineering Toolkit van Vink System Design & Analysis is een spreadsheet voor tolerantieanalyse beschikbaar. Hiermee kun je snel van start met het maken van tolerantieanalyses, inclusief statistisch optellen zoals hier beschreven. Ook de verfijnde methode zoals beschreven in ‘Verfijnde werkwijze tolerantieanalyse‘ is hiermee mogelijk.
Het bericht ‘De verdeling van toleranties‘ gaat in op de vraag hoe realistisch de normale verdeling is.
Vakgebied tolerantieanalyse
Tolerantieanalyse is een expertise van Jaap Vink van Vink System Design & Analysis. Ik heb meerdere (fijn)mechanische analyses op dit gebied uitgevoerd. Daarnaast heb ik als gastdocent voor het Mikrocentrum enkele jaren de driedaagse cursus tolerantieanalyse gegeven.
